과학2026. 11. 9. 오전 4:49 UTC·1 분 소요

그레이엄의 55년 묵은 재배열 추측, 마침내 증명

젊은 수학자들이 로널드 그레이엄이 1971년 제기한 재배열 추측을 증명했습니다. 저글링에서 영감을 얻었을 수 있는 문제입니다.

Colorful juggling balls in mid-air arcs overlaid with a clock face and numbers, illustrating a mathematical rearrangement puzzle. — 이미지: WIRED

수학자 로널드 그레이엄이 1971년 던진 "재배열 추측"이 55년 만에 마침내 해결됐습니다. 젊은 수학자들이 논문 4편과 여러 수학 분야에 걸친 증명으로 문제를 풀었습니다. 마지막 논문은 2026년 2월 본 대학교의 리사 자우어만과 시카고 대학교의 후이 투안 팜이 발표했습니다.

저글링과 닮은 질문

그레이엄은 미국수학회 회장이자 국제저글러협회 회장이기도 했습니다. 질문은 이렇습니다. 0을 제외한 서로 다른 정수들을 앞에서부터 2개, 3개, 4개씩 더한 "부분합"이 모두 달라지도록 항상 재배열할 수 있을까요? 저글링에 빗대면, 공마다 공중에 머무는 시간이 다를 때 두 공이 같은 박자에 떨어지지 않도록 던지는 순서를 늘 찾을 수 있느냐는 뜻입니다.

수가 모두 양수이거나 양수와 음수가 섞인 경우는 답이 "그렇다"로 이미 알려져 있었습니다. 어려운 것은 소수 p를 기준으로 수가 반복되는 "시계 산술"의 세계입니다. 그레이엄은 여기서도 답이 "그렇다"고 추측했지만, 수십 년간 증명되지 않았습니다.

무작위성의 힘

옥스퍼드 대학교의 알프 뮈예세르와 유니버시티 칼리지 런던의 알렉세이 포크롭스키는 p까지의 거의 모든 수를 포함하는 큰 집합을 다뤘습니다. 특별히 고른 수 몇 개를 따로 두고 나머지를 무작위로 섞은 뒤, 합이 0이 되는 구간이 나오면 따로 둔 수를 끼워 넣어 고치는 방식으로, 2022년 결과를 공개했습니다.

옥스퍼드의 노아 크래비츠와 벤저민 베더트는 반대로 p에 비해 집합이 아주 작은 경우를 증명해 2024년 9월 공개했습니다. 이후 협업해 2025년 8월 논문에서 큰 집합의 추가 사례를 다뤘지만, 중간 크기 집합은 남아 있었습니다. 이 공백을 메운 것이 2026년 2월의 마지막 논문입니다.

프린스턴 대학교의 노가 알론은 문제를 푼 힘으로 "협업, 젊은 세대, 확률적 방법"을 꼽았습니다.