ग्राहम की 55 साल पुरानी रीअरेंजमेंट कंजेक्चर आखिरकार सुलझी

संख्याएं सभी धनात्मक हों, या धनात्मक और ऋणात्मक दोनों हों, तो जवाब "हां" पहले से ज्ञात था। मुश्किल घड़ी वाली अंकगणित में थी, जहां संख्याएं किसी अभाज्य संख्या p के बाद दोहराती हैं। ग्राहम का अनुमान था कि वहां भी जवाब "हां" होगा।

बेतरतीबी की ताकत

ऑक्सफोर्ड के अल्प म्यूसेसर और यूनिवर्सिटी कॉलेज लंदन के एलेक्सी पोक्रोव्स्की ने उन मामलों को सुलझाया, जहां समूह में p तक लगभग सभी संख्याएं होती हैं। उन्होंने कुछ चुनी हुई संख्याएं अलग रखीं, बाकी को बेतरतीब ढंग से मिलाया और जहां कोई खंड शून्य के बराबर जुड़ता था, वहां रिजर्व संख्या डालकर उसे ठीक किया। यह हल 2022 में एक व्यापक पेपर में छिपा था।

बाद में ऑक्सफोर्ड के नोआ क्राविट्ज़ ने बेनजामिन बेडर्ट के साथ उलटे छोर, यानी p के मुकाबले बहुत छोटे समूहों, का मामला हल किया और सितंबर 2024 में प्रमाण डाला। म्यूसेसर ने संपर्क किया और पांच लोगों की टीम ने अगस्त 2025 में बड़े समूहों के और मामले निपटाए। बीच के मध्यम आकार के समूहों का अंतर तब भी बाकी था, जिसे अंतिम पेपर ने भरा।

प्रिंसटन के नोगा अलोन के शब्दों में, यह "सहयोग, युवा पीढ़ी और प्रायिकता विधियों की ताकत" की जीत है।