Grahams Umordnungsvermutung nach 55 Jahren endlich bewiesen

Bei positiven Zahlen ist die Antwort offensichtlich ja, und auch für gemischte positive und negative Zahlen ist sie bekannt. Graham fragte nach Zahlen auf einer Uhr, die sich nach einer Primzahl p wiederholen. Er vermutete, dass die Antwort weiterhin ja lautet – ähnlich wie es trotz vieler Regeln gültige Sudokus oder lateinische Quadrate gibt.

Zufall und ein unwahrscheinliches Team

Die Schwierigkeit hängt von der Mengengröße im Verhältnis zu p ab. 2022 behandelten Alp Müyesser (Oxford) und Alexey Pokrovskiy (University College London) Mengen, die fast alle Zahlen bis p enthalten. Sie legten einige Zahlen beiseite, mischten den Rest zufällig und reparierten Abschnitte mit der Summe null mithilfe der Reservezahlen.

Ohne davon zu wissen, stieß Noah Kravitz (Oxford) in einem Online-Archiv ungelöster Probleme auf die Vermutung. Mit Benjamin Bedert löste er den Fall winziger Mengen im Vergleich zu p, etwa 100 Zahlen bei p von einer Milliarde, und veröffentlichte dies im September 2024. Müyesser schloss sich mit zwei weiteren Kollegen an; ihre Arbeit vom August 2025 deckte weitere Fälle großer Mengen ab. Für mittelgroße Mengen blieb eine Lücke, die Sauermann und Pham später schlossen.

Noga Alon (Princeton) nannte „die Kraft der Zusammenarbeit, der jungen Generation und der probabilistischen Methoden“ als Schlüssel. Kravitz betonte, das Team vereine Teilgebiete der Kombinatorik, die sonst selten kooperieren.