Hipoteza Grahama sprzed 55 lat wreszcie udowodniona

O co pytał Graham

Weźmy zbiór różnych liczb całkowitych, bez zera. Czy zawsze można ustawić je tak, by wszystkie sumy częściowe (pierwsze dwie liczby, pierwsze trzy, pierwsze cztery itd.) były różne? W języku żonglerki: jeśli każda piłka pozostaje w powietrzu przez inny czas, da się dobrać kolejność rzutów tak, by dwie piłki nie spadły w tym samym rytmie.

Dla liczb dodatnich odpowiedź jest oczywista, bo sumy rosną. Wiadomo też, że działa to dla mieszanki liczb dodatnich i ujemnych. Graham zapytał o świat skończony, czyli arytmetykę zegarową, w której liczby zapętlają się po liczbie pierwszej p. Przypuszczał, że odpowiedź nadal brzmi „tak”.

Losowość i trudny przypadek środka

Trudność zależy od rozmiaru zbioru względem p. Alp Müyesser z Oksfordu i Alexey Pokrovskiy z University College London zajęli się zbiorami obejmującymi niemal wszystkie liczby do p. Zaczęli od losowej kolejności, odłożyli kilka specjalnie dobranych liczb i użyli ich do naprawiania fragmentów, które sumowały się do zera. Wynik opublikowali w 2022 roku.

Przypadek bardzo małych zbiorów rozwiązali Noah Kravitz i Benjamin Bedert z Oksfordu, publikując dowód we wrześniu 2024 roku. Następnie połączyli siły z Müyesserem i dwojgiem kolejnych współpracowników, a ich praca z sierpnia 2025 roku objęła więcej dużych zbiorów. Między obu obszarami pozostawała jednak luka dotycząca zbiorów średniej wielkości.

Według Nogi Alona z Uniwersytetu Princeton problem rozwiązały siła współpracy, młode pokolenie i metody probabilistyczne.