حل أخيرًا حدسية غراهام لإعادة الترتيب بعد 55 عامًا

ما الذي سأله غراهام؟

لنأخذ مجموعة من الأعداد الصحيحة المختلفة دون الصفر. هل يمكن دائمًا ترتيبها بحيث تكون كل «المجاميع الجزئية» مختلفة، أي مجموع أول عددين ثم أول ثلاثة ثم أول أربعة وهكذا؟ وبلغة الجقلبة: إذا بقيت كل كرة في الهواء مدة مختلفة، فهل يوجد ترتيب للرميات لا تسقط فيه كرتان على الإيقاع نفسه؟

مع الأعداد الموجبة الإجابة واضحة، لأن المجاميع تتزايد. ومن المعروف أن الإجابة نعم أيضًا عند خلط الموجبة بالسالبة. أما غراهام فسأل عن عالم محدود، هو حساب الساعة الذي تتكرر فيه الأعداد بعد عدد أولي p. وتوقع أن تبقى الإجابة نعم.

العشوائية تفتح الطريق

تعتمد الصعوبة على حجم المجموعة مقارنة بـp. فقد تناول ألب ميسر من جامعة أكسفورد وأليكسي بوكروفسكي من كلية لندن الجامعية المجموعات التي تضم تقريبًا كل الأعداد حتى p. بدآ بترتيب عشوائي، وعزلا بضعة أعداد مختارة بعناية، ثم استخدماها لإصلاح المقاطع التي يساوي مجموعها صفرًا. ونشرا الحل عام 2022.

أما نوح كرافيتس وبنجامين بيدرت من أكسفورد فحلّا حالة المجموعات الصغيرة جدًا، ونشرا إثباتهما في سبتمبر 2024. ثم تعاونا مع ميسر وزميلين آخرين، وغطت ورقة أغسطس 2025 حالات أكبر من المجموعات الكبيرة. لكن بقيت فجوة تخص المجموعات متوسطة الحجم.

ويقول نوغا ألون من جامعة برينستون إن الذي حل المسألة هو قوة التعاون وقوة الجيل الشاب وقوة الأساليب الاحتمالية.